Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Antes de empezar...

Un número natural puede ser par, puede ser impar, pero también puede ser primo o compuesto.

1. Un número es primo si el único número que puede dividirle es él mismo o la unidad, (el número uno).
2. Un número es compuesto si no es primo.

Para calcular estos números, primero debemos conocer los Criterios de Divisibilidad:

¿Qué te parecería saber si un número es divisible por otro sin hacer la división, solo de un vistazo? Pues se puede hacer en ciertos casos. Hay unas reglas sencillas para saber si un número es múltiplo de algunos números. Estas reglas sencillas y alternativas a la división se llaman criterios de divisibilidad. Vamos a estudiar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 7 y 11 que son números primos y será útil para calcular más adelante el MCD y el mcm de dos o más números.

• Criterio de divisibilidad por 2: Un número es múltiplo de 2 (o divisible por 2) si su cifra de las unidades es cero o par. Ejemplos de múltiplos de 2: 8, 26, 190, 3452, 45998...
• Criterio de divisibilidad por 3: Un número es múltiplo de 3 (o divisible por 3) si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplos de múltiplos de 3: 15 (1+5=6, que es múltiplo de 3), 231 (2+3+1=6, que es múltiplo de 3), 930 (9+3+0=12, que es múltiplo de 3), 1236 (1+2+3+6=12, que es múltiplo de 3)...
• Criterio de divisibilidad por 5: Un número es múltiplo de 5 (o divisible por 5) si su cifra de las unidades es cero o cinco. Ejemplos de múltiplos de 5: 20, 395, 5070, 48315...
• Criterio de divisibilidad por 7: la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.                     Ejemplos de múltiplos de 7:   343    34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7;    105  10 - 5 · 2 = 0    
  2261   226 - 1 · 2 = 224 Volvemos a repetir el proceso con 224. 22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.
• Criterio de divisibilidad por 11: Un número es múltiplo de 11 (o divisible por 11) si al sumar sus cifras que ocupan posiciones impares y al sumar sus cifras que ocupan posiciones pares, la diferencia de estas sumas es cero o múltiplo de 11. Ejemplos de múltiplos de 11: 132 ((1+2)-(3)=0), 7183 ((7+8)-(1+3)=11, que es múltiplo de 11), 90618 ((9+6+8)-(0+1)=22, que es múltiplo de 11), 26180 ((6+8)-(2+1+0)=11, que es múltiplo de 11)...

 También debemos conocer otros Criterios de Divisibilidad como los siguientes:
http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/glosario/divisibilidad.swf


Puedes practicarlos en la siguiente página: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/07/criterios.html


¿Y qué son los múltiplos de un número? Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por números naturales.
Ejemplo: http://www.amolasmates.es/tanque/multiplos_p.html

¿Que son los divisores de un número? Son todos los números naturales que dividen al número de forma exacta.
Ejemplo:http://www.amolasmates.es/tanque/c_divisores_p.html

Para practicar más: http://www22.brinkster.com/nosolomates/ayuda/divisores.htm
 http://www.amolasmates.es/flash/multiplos.html

El máximo común divisor, (m. c. d) de dos o más números es el mayor divisor común a todos ellos.

Para calcularlo hacemos lo siguiente:

• Paso 1: Decomponemos los números implicados en factores primos
• Paso 2: Se toman los factores comunes con el menor exponente de dichas factorizaciones  y se multiplican.

http://yteach3.educaline.com/page.php/resources/view_all?id=4956_hallar_el_maximo_comun_divisor_mcd&from=search


http://yteach3.educaline.com/page.php/resources/view_all?id=4120_el_maximo_comun_divisor_mcd&from=search

 El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

Para calcularlo hacemos lo siguiente:

• Paso 1: Decomponemos los números implicados en factores primos
• Paso 2: Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente de dichas factorizaciones  y se multiplican.

Ahora, si quieres practicar estos algoritmos, pincha en los siguientes enlaces:

http://www.i-matematicas.com/recursos0809/1ciclo/divisibilidad/interactivo/MCDmcm.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/mcd_mcm.htm

Aplicaciones del cálculo del Mínimo Común Múltiplo:

Éste es un método que nos permite resolver con mayor facilidad problemas planteados donde se necesite encontrar cuándo coinciden ciertos objetos cuyo comportamiento es periódico, (que se repite), o en operaciones matemáticas con sumas y restas de números fraccionarios. (utilizando el método de pasar dichas fracciones a común denominador). Este procedimiento matemático fue aportado por el gran científico y matemático Aristóteles.

El movimiento de un péndulo es periódico, es decir, que se repite una y otra vez...luego, comparando distintos péndulos, podemos calcular cuándo vuelven a coincidir estas oscilaciones...teniendo en cuenta que, el tiempo en el que transcurren dichas repeticiones, depende de la longitud de cuerda, tal y como descubrió Galileo- Galilei. 

Luego entre péndulos podríamos calcular el m.c.m de sus períodos y predecir cuándo volverían  a coincidir sus movimientos...o cuándo se volvería a poder ver las mismas formas geométricas que muestra el siguiente video: 

Cuentan que un domingo de 1581 cuando Galileo no podía concentrarse en sus oraciones, se fijó en que había una suave corriente de aire en el interior de la iglesia, y una gran lámpara suspendida del techo se movía en forma de vaivén. Pudo observar o al menos deducir algo sumamente sorpresivo: el candelero parecía batir tiempos iguales, fuese el vuelo corto o largo.

Galileo ya en su casa ató diferentes pesas en el extremo de varias cuerdas. Cronometrando las oscilaciones comprobó que un peso suspendido de una cuerda larga tardaba más tiempo en ir y venir que un peso colgado de una cuerda corta. Sin embargo, al estudiar cada peso por separado, comprobó que siempre tardaba lo mismo en una oscilación, fuese ésta amplia o breve.

La música y las matemáticas se llevan muy bien. Están tan relacionadas que famosos matemáticos también eran músicos, como Pitágoras.

"Dos alumnas dan palmadas con el mismo pulso. Una lleva un ritmo de 3/4 y otra 4/4. Siempre dan la palmada en el tiempo fuerte del compás. De este modo una usa múltiplos de 3 y otra múltiplos de 4"

Podemos deducir que las dos coinciden dando la palmada a la vez cada 12 pulsos.
Es por eso que el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es doce.




¿Has oído la expresión de..."Cuando los astros se alineen? Calculemos cada cuánto pasa ésto.

En esta tabla podemos ver los períodos expresados en años (y entre paréntesis los mismos redondeados para el cálculo) de los planetas de nuestro sistema solar:

• Mercurio 0.241 años (0.25)
• Venus 0.615 años (0.5)
• Tierra 1 año (1)
• Marte 1.88 años (2)
• Jupiter 11.86 años (12)
• Saturno 29.46 años (30)
• Urano 84.01 años (84)
• Neptuno 164.79 años (165)

¿Conoces la respuesta? Pues escríbela en un comentario