EL BINOMIO DE NEWTON

INTRODUCCIÓN

De cursos anteriores conoces la fórmula que te permite calcular, sin necesidad de multiplicar, el cuadrado de un binomio suma o diferencia:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2


¿Te has planteado alguna vez si existen fórmulas similares que te permitan obtener, con la misma rapidez y seguridad, el cubo, las potencias cuarta, quinta, sexta, etc. de un binomio suma o diferencia?.


BINOMIO DE NEWTON

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

¿Quién fué Newton?

Suele considerarse a Isaac Newton uno de los protagonistas principales de la llamada «Revolución científica» del siglo XVII y, en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna. No obstante, siempre fue remiso a dar publicidad a sus descubrimientos, razón por la que muchos de ellos se conocieron con años de retraso.

Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una profunda renovación de las Matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de Newton), aunque el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.

Pero sus aportaciones esenciales se produjeron en el terreno de la Física.



 Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando la composición de la luz blanca como mezcla de los colores del arco iris, Isaac Newton formuló una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos; más tarde recogió su visión de esta materia en la obra Óptica (1703).
También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica; pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica.

En su obra más importante, Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él ninguna fuerza; la segunda o principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, que explica que por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario.
De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es la más conocida: la ley de la gravedad, que según la leyenda le fue sugerida por la observación de la caída de una manzana del árbol. Descubrió que la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna era directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, calculándose dicha fuerza mediante el producto de ese cociente por una constante G; al extender ese principio general a todos los cuerpos del Universo lo convirtió en la ley de gravitación universal.

La mayor parte de estas ideas circulaban ya en el ambiente científico de la época; pero Newton les dio el carácter sistemático de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del Universo durante varios siglos. Hasta que terminó su trabajo científico propiamente dicho (hacia 1693), Newton se dedicó a aplicar sus principios generales a la resolución de problemas concretos, como la predicción de la posición exacta de los cuerpos celestes, convirtiéndose en el mayor astrónomo del siglo. Sobre todos estos temas mantuvo agrios debates con otros científicos (como Halley, Hooker, Leibniz o Flamsteed), en los que encajó mal las críticas y se mostró extremadamente celoso de sus posiciones.

Hoy en día hay otra teoría sobre la gravedad para que se pueda dar la Teoría de cuerdas:



El Binomio de Newton está grabado en la tumba de éste por petición propia, pues él demostró la validez del teorema para todo valor real de "n". Su tumba está en la Abadía de Westminster en Londres, por si algún día os da por ir a visitarla.

Aquí te dejo la demostración del Binomio de Newton por inducción vista en clase:

http://pimedios.es/2010/10/26/el-binomio-de-newton-por-induccion/

¿Quién fué Tartaglia?

Niccolo Fontana conocido como Tartaglia, nació en Brescia República de Venecia , en 1499 y murió el 13 de diciembre de 1557 en la ciudad de Venecia, actualmente perteneciente a Italia. Su verdadero nombre era Fontana, pero fue apodado Tartaglia por su tartamudez, causada por una cuchillada propinada por un soldado francés, en la Catedral de Brescia, que le derivó secuelas en el habla, durante la masacre de 1512, cuando fue capturada su ciudad natal. Su cara quedó desfigurada, lo cual lo obligó siempre a usar barba para disimular sus cicatrices. 

Hijo de una viuda pobre (su padre murió en la masacre), fue autodidacta desde los 14 años, edad en la que aprendió a escribir. Estudió por si solo griego, latín y matemática, disciplina con la cual, debido a su habilidad, pudo ganarse la vida enseñando en Verona hasta que en 1534 se traslada a Venecia donde muere, en la misma pobreza que te acompañó toda su vida. 

La primera persona que se conoce que resolvió un tipo de ecuación de tercer grado es Scipione del Ferro, pero no informó a nadie sobre esto. Al parecer no consideraba completa la solución, ya que podían aparecer lo que hoy día llamamos números complejos, además de no considerar mas que un tipo de ecuación con coeficientes positivos. En su lecho de muerte, del Ferro confió el descubrimiento parcial a su alumno Antonio Maria Fiore, quién comenzó a jactarse de poder resolver ecuaciones de tercer grado y en 1535 desafió a Tartaglia que al mismo tiempo estaba estudiando el mismo tipo de ecuaciones, pero descubrió más casos que los que podía resolver Fiore.

El desafío consistía en lo siguiente, cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero ante notario y proponer treinta problemas para que los resolviera su oponente; el que en un plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero, Como no se usaban números negativos, se consideraban sólo dos tipos de ecuaciones de tercer grado x^3 + mx = n y x^3 = mx + n, con m > 0 y n > O no considerando el tercer caso x^3 + mx + n = 0 sin corresppondencia con problemas reales.
Ferro habría enseñado a Fiore a resolver sólo uno de los casos. En este duelo Tartaglia demostró el 13 de febrero de 1535 saber como resolver ambos casos, sin explicar como lo hacía. En menos de dos horas resolvió los problemas presentados por Fiore, quien no pudo responder satisfactoriamente a los problemas planteados por Tartagila. Este triunfo hizo famoso a Tartaglia.

En este momento entra en la historia Cardano. Como profesor en Milán estaba al tanto del tema, pero hasta este desafío, creía lo que había planteado Pacioli en su libro Summa en 1494, que el problema no tenía solución. Cardano, que estaba en Milán, trataba de conseguir que Tartaglia te confiara la fórmula, pero éste se niega en varias oportunidades. Cardano se contacta con Tartaglia y te promete recomendarlo al gobernador de Milán, Alfonso de Ávalos.
Tartagila, que piensa que este puede ser un buen contacto que te permitiría obtener un cargo en la corte de Milán, y así dejar su modesto trabajo en Venecia, replantea su actitud y después de mucha persuasión y con el compromiso de mantener en secreto estos métodos, se lo confía a Cardano

Cardano finalmente la publicó en su libro Ars Magna en 1545. Esto enfureció a Tartaglia. En 1546 Tartaglia publicó el libro Nuevos problemas e inventos en el cual cuenta su versión de la historia y denuncia que Cardano actuó de mata fe, pero la posición de Cardano, un prestigioso matemático y médico de Milán, era muy fuerte frente a la débil posición de un modesto profesor de Venecia.

Tartaglia escribió un libro sobre Teoría de números en el que pueden encontrarse entretenidos rompecabezas como por ejemplo: Tres matrimonios (en los cuales los maridos son extremadamente celosos) quieren cruzar un río en una barca en la que caben como máximo dos personas. Determinar cómo debe planificarse el cruce si no puede dejarse a ninguna mujer en compañía de un hombre a menos que su marido esté presente. Tres personas quieren repartiese el aceite que hay en una garrafa de 24 litros. Determinar cómo puede hacerse el reparto si se dispone de tres garrafas vacías con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros.

 En 1556 publica su obra Trattato, donde se refiere al descubrimiento del triángulo aritmético y al desarrollo del binomio, aunque estos temas ya eran conocidos en años anteriores. Hoy el triángulo aritmético lleva su nombre Tartaglia o el de Pascal, que escribió sobre el tema en 1654. En la obra de Pascal también aparece el tema del binomio, pero como en la de Newton.

Ejercicios:


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